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Mar 20, 2006

长度是怎样炼成的 (一)关于无穷

当我们使用「无穷」这个词的时候,我们必须时刻谨记,这个词有两种截然不同的意义——不,我这里说的不是亚里士多德关于实无穷和潜无穷的那些绕口令,而是某些重要得多的本质问题,对他们的清晰阐释开始于伟大的德国数学家康托 Georg Cantor (1845-1918):当我们说一个集合有无穷多个元素的时候,我们必须指明这里的无穷是哪一种,是「可数无穷」还是「不可数无穷」。虽然都是无穷集合,但是它们会体现出截然不同的性质。

为了说明这一问题,我们引进集合的「势(cardinality)」的概念。简单说来,势就是集合的元素的个数。一个集合有三个元素,我们就称其势为 3。两个集合如果元素个数相等,我们就称它们为等势的。——很显然,要判断两个集合是不是等势,只需要看这两个集合之间能不能建立起元素的一一对应即可,如果可以的话,我们就说这两个集合的元素是一样多的。

到这里为止都显得很简单。可是最有趣的部分马上就要出现了:康托指出,不但对于有限个元素的集合我们可以讨论它们的势,对于无穷个元素的集合,我们同样可以讨论它们之间是否等势。换句话说,我们可以讨论两个无穷集合的元素是不是一样多!

之所以如此,是因为集合之间的「一一对应」本质上只是个数学概念,是可以被精确研究的对象(请回忆高中数学课本关于映射的那一章)。从而,随便拿两个集合来,它们之间是否能建立一一对应只是数学上的问题而已。

以下是一些最基本也是最著名的例子和命题,请尽量耐心的阅读。所有这些陈述都是可以基于最简单的形式逻辑给出严格证明的,证明可以在参考文献[1]上查到:

    • 每一个集合都和它自身等势。

注:废话。

    • 全体正整数的集合和全体正偶数的集合等势。

注:这是第一个有趣然而迷惑人的结果。我们等于是在说:一个集合可以和它的一部分一样多!——但是这并不是一个悖论。我们通常觉得一个集合不能和它的一部分一样多只是针对有限集合而言的,本来就没人说过无限集合不能和它的一部分一样多,只是有时候大家会不自觉地有这个误解而已。

    • 全体正整数的集合和全体有理数的集合等势。(什么是有理数来着?查书去!)

注:这是在数学上很重要的一个例子,说明一个实数中的稠密集可以和一个离散集等势,不过大家看到这里大概已经开始打瞌睡了……跳过这个例子!

    • 全体正整数的集合和全体实数的集合等势。

注:睁大眼睛,迄今为止最重要的一句话出现了!你永远不可能在全体正整数的集合和全体实数的集合之间建立起一一对应来。对这个陈述的证明是数学上最有趣也最迷人的证明之一,可惜的是篇幅所限我不能在这里证明给大家看。那么只讨论结论好了:并不是所有的无穷集合都是等势的,有一些无穷集合比另一些无穷集合的元素更多,换句话说,无穷之间也是有大小的。

    • 任给一个无穷集合,我们都能够造出一个集合包含它,而且和它不等势。

注:换句话说,无穷和无穷相比,没有最大,只有更大。——但是请注意,虽然我们能够造出越来越大的无穷集合,但是我们并不真正对那些太大的无穷感兴趣,因为和这个世界没什么关系。

    • 如果两个集合都和第三个集合等势,那么它们彼此也等势。

注:好像也是废话,但是它引出了下面的重要陈述。

    • 有很多集合都和全体正整数的集合等势,从而它们彼此也等势,我们称所有这样的集合为「可数无穷的(countably infinite)」。有很多无穷集合比全体正整数的集合的势更大,我们称所有这样的集合为不可数无穷的(uncountably infinite)。但是,不存在无穷集合的势比全体正整数的集合的势更小。

注:我们待会儿再来讨论为什么起这么两个名字。前面的例子告诉我们,全体正偶数的集合是可数无穷的,全体有理数的集合是可数无穷的,但是全体实数的集合是不可数无穷的。

    • 在不可数无穷集合中间,有些集合是和全体实数的集合等势的,这些集合被称为「连续统(continuum)」。

注:好了,现在我们对全体无穷集合建立了一个简单的分类。最小的一类称为可数无穷集。剩下的都叫不可数无穷集。不可数无穷集里面又有特殊的一类叫作连续统,剩下当然还有一些非连续统的不可数无穷集,但是它们几乎和真实世界没有任何关系,所以忽略之。(有人不愿意忽略它们,非要去研究里面的一些麻烦的问题,于是产生了数学中间最让人头晕的一部分结论,比如什么哥德尔不完全性定理之类……这个定理偏偏还特别著名,很多人都问过我它究竟说的是啥。相信我,你不可能弄明白的。)

也就是说,我们真正关心的是两类特殊的无穷集合,一类称为可数无穷集,一类称为连续统。所有的可数无穷集彼此等势,所有的连续统彼此等势,但是任何可数无穷集和连续统之间不等势,后者总是更大一些……真绕嘴阿。

下面是一些可数无穷集和连续统的例子:

可数无穷集:

自然数集,整数集,有理数集。(基本上,如果你在平面上或者直线上随手点无穷个点,并且这些点彼此都不挨着,那么它们的总数就是可数无穷的。但是也存在一些不这么简单的可数无穷集。)

连续统:

实数集,直线上点的个数,平面上点的个数,一个正方形里点的个数,或者简而言之,一切几何对象里的点的个数都是连续统。(这里一个常常被人提到的推论就是直线上的点和平面上的点一样多,——都是连续统那么多。其实证明很简单,但是一言难尽,请查书去。)

好了,现在我们可以讨论这两个名字是怎么来的了。请注意,所有的可数无穷集都是可以和正整数建立起一一对应的,这是什么意思呢?这意味着,我们可以把一个可数无穷集中的每个元素都对应到一个正整数,这相当于给他们编了号码,从而我们可以去数它们(这就是可数这个词的来历)。也就是说,我们可以按照 1 号、2 号、3 号这么一直数下去,虽然总数是无穷的,但是只要我们在理论上一直数完所有的自然数,我们就能真正数遍这个集合的所有元素(至少在想像里是这样)。

而连续统集合却不是这样。一个直线上的点是连续统,这就是说,无论怎么巧妙的给这些点编号,我们都是不可能给所有的点都编上号码然后一个一个的数下去把它们都数完的。它们是「不可数」的。

有人会说,这不是自欺欺人么?反正都是无穷个,反正事实上总也不可能数得完,那么在理论上区分「想像中数得完」和「想像中也数不完」有什么实际意义呢?

有的。正是这一点微妙的差别,使得有些事情我们能够对可数集去做却不能对连续统集合去做,也正是这一点差别,促成了从没有大小的点到有大小的直线和平面之间的巨大的飞跃。

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