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Jan 30, 2011

不确定性原理的前世今生 · 数学篇(二)

傅立叶变换这种对偶关系的本质,是把一块信息用彻底打乱的方式重新叙述一遍。正如前面所提到的那样,一个信号可能在空域上显得内容丰富,但是当它在频域上被重新表达出来的时候,往往就在大多数区域接近于零。反过来这个关系也是对称的:一个空域上大多数区域接近于零的信号,在频域上通常都会占据绝大多数频率。

有没有一种信号在空域和频域上的分布都很广泛呢?有的,最简单的例子就是噪声信号。一段纯粹的白噪声,其傅立叶变换也仍然是噪声,所以它在空域和频域上的分布都是广泛的。如果用信号处理的语言来说,这就说明「噪声本身是不可压缩的」。这并不违反直觉,因为信号压缩的本质就是通过挖掘信息的结构和规律来对它进行更简洁的描述,而噪声,顾名思义,就是没有结构和规律的信号,自然也就无从得以压缩。

另一方面,有没有一种信号在空域和频域上的分布都很简单呢?换句话说,存不存在一个函数,它在空间上只分布在很少的几个区域内,并且在频域上也只占用了很少的几个频率呢?(零函数当然满足这个条件,所以下面讨论的都是非零函数。)

答案是不存在。这就是所谓的 uncertainty principle(不确定性原理)。

这一事实有极为重要的内涵,但是其重要性并不容易被立刻注意到。它甚至都不是很直观:大自然一定要限制一个信号在空间分布和频率分布上都不能都集中在一起,看起来并没有什么道理啊。

这个原理可以被尽量直观地解释如下:所谓的频率,本质上反应的是一种长期的全局的趋势,所以任何一个单一的频率,一定对应于一个在时空中大范围存在的信号。反过来,任何只在很少一块时空的局部里存在的信号,都存在很多种不同的长期发展的可能性,从而无法精确推断其频率。

让我们仍然用音乐来作例子。声音可以在时间上被限制在一个很小的区间内,譬如一个声音只延续了一刹那。声音也可以只具有极单一的频率,譬如一个音叉发出的声音(如果你拿起手边的固定电话,里面的拨号音就是一个 440Hz 的纯音加上一个 350Hz 的纯音,相当于音乐中的 A-F 和弦)。但是不确定性原理告诉我们,这两件事情不能同时成立,一段声音不可能既只占据极短的时间又具有极纯的音频。当声音区间短促到一定程度的时候,频率就变得不确定了,而频率纯粹的声音,在时间上延续的区间就不能太短。因此,说「某时某刻那一刹那的一个具有某音高的音」是没有意义的。

这看起来像是一个技术性的困难,而它实际上反映出却是大自然的某种本质规律:任何信息的时空分辨率和频率分辨率是不能同时被无限提高的。一种波动在频率上被我们辨认得越精确,在空间中的位置就显得越模糊,反之亦然。

这一规律对于任何熟悉现代多媒体技术的人来说都是熟知的,因为它为信号处理建立了牢不可破的边界,也在某种程度上指明了它发展的方向。既然时空分辨率和频率分辨率不能同时无限小,那人们总可以去研究那些在时空分布和频率分布都尽量集中的信号,它们在某种意义上构成了信号的「原子」,它们本身有不确定性原理所允许的最好的分辨率,而一切其他信号都可以在时空和频率上分解为这些原子的叠加。这一思路在四十年代被 D. Gabor (他后来因为发明全息摄影而获得了 1971 年的诺贝尔物理奖)所提出,成为整个现代数字信号处理的奠基性思想,一直影响到今天。

但是众所周知,不确定性原理本身并不是数学家的发明,而是来自于量子物理学家的洞察力。同样一条数学结论可以在两个截然不相干的学科分支中都产生历史性的影响,这大概是相当罕见的例子了。

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