不确定性原理的前世今生 · 数学篇（三）

不确定性原理事实上不是一个单独的定理，而是一组定理的统称。基本上，凡是刻划一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中的命题都可以称为不确定性原理，由于这里「集中」这一性质可以有不同的数学描述，也就对应着不同的数学定理。但是在所有冠以「不确定性原理」之名的定理中，最著名的当然是海森堡 (W. Heisenberg) 在 1927 年所提出的影响物理学发展至深的那个版本。它精确的数学描述是：

假定一个信号的总能量为 1，则这个信号和它的傅立叶变换的能量的方差之积不小于 

换言之，两者各自的能量都可能很集中，但是不能同时很集中。如果时空域中能量的方差很小（亦即集中在一起），那么频域上能量的方差就不会太小（亦即必然会弥散开），反之亦然。

对这个定理在量子物理中的意义的详细讨论超出了本文的话题范围，坊间相关的著作已有不少。不过，下面简单胪列了一些相关的历史事实：

1. 海森堡在 1927 年的那篇文章标题为 Ueber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik（《量子理论运动学和力学的直观内容》）。这篇文章很大程度上是对薛定谔 (E. Schrödinger) 在 1926 年所提出的薛定谔波动方程的回应。相较于海森堡的矩阵力学而言，薛定谔的方程很快由于它物理上的直观明晰而吸引了越来越多物理学家的赞赏。海森堡对此极为失落。在 1926 年 6 月 8 日海森堡写给泡利 (W. Pauli) 的信中他说：「我对薛定谔的理论想得越多我就越觉得恶心。」因此，他迫切需要给他自己的理论配上一幅更直观的图象。
2. 海森堡的这篇文章提出了后来被人们所熟悉的关于为什么无法同时测量一个电子的位置和动量的解释，但是并未给出任何严格的数学证明。他把他的结论笼统地表达为 Δx Δp ≥ ħ，其中 x 是位置，p 是动量，ħ 是普朗克常数。但他并没有详细说明 Δx 和 Δp 的严格意思，只针对若干具体情形做了一些直观的讨论。
3. 第一个从数学上证明不确定性原理的物理学家是 E. Kennard。他在 1927 年证明了文章开头所描述的定理，指出 Δx 和 Δp 的数学意义其实是方差。这种解释很快就成了海森堡不确定性原理的标准数学表达，海森堡本人 1930 年在芝加哥所做的演讲中也使用了这种数学推导来佐证他的立论。需要说明的是，海森堡尽管很快接收了这一数学解释，但是后来人们发现在他本人原先的论文里所举的那些例子中，有很多被他用 Δx 和 Δp 笼统概括的含混概念其实是无法被解释成方差的。在他心目中，不确定性原理首先是一个经验事实，其次才是一个数学定理。
4. 海森堡并未将他的发现命名为不确定性「原理」，而只是称之为一种「关系」。爱丁顿 (A. Eddington) 在 1928 年似乎第一个使用了原理一词，将之称为 principle of indeterminacy，后来 uncertainty principle 这种说法才渐渐流行起来。海森堡本人始终称之为 ungenauigkeitsrelationen/unbestimmtheitsrelationen（相当于英语的 inaccuracy/indeterminacy relations），直到五十年代才第一次接受了 principle 这种叫法。

有趣的是，即使很多信号处理或者量子力学领域的专家也不知道自己平时所讨论的不确定性原理和对方的其实是一回事。这两者之间的联系也的确并不太显然，一个关注信号的时空和频域分布，一个关注粒子的运动和能量。它们之间的相关性只有从数学公式上才看起来比较明显。在海森堡的时代当然并不存在「信号处理」这一学科，数学家们也只把不确定性原理当作一条纯数学的结论来对待。他们什么时候最先注意到这一定理并不是很清楚。有记录表明维纳 (N. Wiener) 1925 年在哥廷根的一次讲座中提到了类似的结论，但是那次讲座并没有任何纸面材料流存下来。外尔 (H. Weyl) 在 1928 年名为《群论与量子力学》的论著中从数学上证明了这一定理，但他将之归功于泡利的发现。直到 1946 年 D. Gabor 的一篇名为《通讯理论》的经典论文才真正让这个定理以今天信号处理领域的专家们所熟悉的方式流传开来。

正如前面说过的那样，在数学上不确定性原理不仅仅有海森堡这一个版本，而其实是一组定理的统称。譬如哈代 (G. Hardy) 在 1933 年证明了一个和海森堡原理类似的定理，今天一般称为哈代不确定性原理。海森堡和哈代的定理都只约束了信号在时空域和频域的大致分布，而并没有限制它们同时集中在有限大的区域内。M. Benedicks 第一个证明了信号在时空域和频域中确实不能同时集中在有限大的区域内，而这已经是 1974 年的事情了。