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Jan 31, 2011

不确定性原理的前世今生 · 数学篇(完)

到二十世纪末,人们对「信号」这个词的理解已经发生了微妙的变化。如果在二十世纪上半叶的时候提到一个信号,人们还倾向于将它理解为一个连续的函数。而到下半叶,信号已经越来越多地对应于一个离散的数组。毫无疑问,这是电子计算机革命的后果。

在这样的情形下,「不确定性原理」也有了新的形式。在连续情形下,我们可以讨论一个信号是否集中在某个区域内。而在离散情形下,重要的问题变成了信号是否集中在某些离散的位置上,而在其余位置上是零。数学家给出了这样有趣的定理:

一个长度为 N 的离散信号中有 a 个非零数值,而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值,那么 a+b ≥ 2√N。

也就是说一个信号和它的傅立叶变换中的非零元素不能都太少。毫无疑问,这也是某种新形式的「不确定性原理」。

在上面的定理中,如果已知 N 是素数,那么我们甚至还有强得多的结论(它是 N. Chebotarev 在 1926 年证明的一个定理的自然推论):

一个长度为素数 N 的离散信号中有 a 个非零数值,而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值,那么 a+b > N。

不幸的是这里「素数」的条件是必须的。对于非素数来说,第二条命题很容易找到反例,这时第一条命题已经是能够达到的最好结果了。

这些定理有什么用呢?如果它仅仅是能用来说明某些事情做不到,就像它字面意思所反映出的那样,那它的用处当然相对有限。可是——这无疑是辩证法的一个好例证——这样一系列宣称「不确定」的定理,事实上是能够用来推出某些「确定」的事实的。

设想这样一种情况:假定我们知道一个信号总长度为 N,已知其中有很大一部分值是零,但是不知道是哪一部分(这是很常见的情形,大多数信号都是如此),于此同时,我们测量出了这个信号在频域空间中的 K 个频率值,但是 K<N (也就是我们的测量由于某些原因并不完整,漏掉了一部分频域信息)。有没有可能把这个信号还原出来呢?

按照传统的信号处理理论,这是不可能的,因为正如前面所说的那样,频域空间和原本的时空域相比,信息量是一样多的,所以要还原出全部信号,必须知道全部的频域信息,就象是要解出多少个未知数就需要多少个方程一样。如果只知道一部分频域信息,就像是只知道 K 个方程,却要解出 N 个未知数来,任何一个学过初等代数的人都知道,既然 K<N,解一定是不唯一的。

但是借助不确定性原理,却正可以做到这一点!原因是我们关于原信号有一个「很多位置是零」的假设。那么,假如有两个不同的信号碰巧具有相同的 K 个频率值,那么这两个信号的差的傅立叶变换在这 K 个频率位置上就是零。另一方面,因为两个不同的信号在原本的时空域都有很多值是零,它们的差必然在时空域也包含很多零。不确定性原理(一个函数不能在频域和时空域都包含很多零)告诉我们,这是不可能的。于是,原信号事实上是唯一确定的!

这当然是一个非常违反直觉的结论。它说明在特定的情况下,我们可以用较少的方程解出较多的未知数来。这件事情在应用上极为重要。一个简单的例子是医学核磁共振技术(很多家里有重病患者的朋友应该都听说过这种技术)。核磁共振成像本质上就是采集身体图像的频域信息来还原空间信息。由于采集成本很高,所以核磁共振成像很昂贵,也很消耗资源。但是上述推理说明,事实上核磁共振可以只采集一少部分频域信息(这样成本更低速度也更快),就能完好还原出全部身体图像来,这在医学上的价值是不可估量的。

在今天,类似的思想已经被应用到极多不同领域,从医学上的核磁共振和 X 光断层扫描到石油勘测和卫星遥感。简而言之:不确定性可以让测量的成本更低效果更好,虽然这听起来很自相矛盾。

糟糕的是,本篇开头所描述的那个不确定性定理还不够强,所能带来的对频域测量的节省程度还不够大。但是数学上它又是不可改进的。这一僵局在本世纪初被打破了。E. Candès 和陶哲轩等人证明了一系列新的不确定性原理,大大提高了不等式的强度,付出的代价是……随机性。他们的定理可以粗略叙述为:

一个长度为 N 的离散信号中有 a 个非零数值,而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值,那么 a+b 以极大概率不小于 N/√(log N) 乘以一个常数。

这里的「极大概率」并不是一个生活用语,而是一个关于具体概率的精确的数学描述。换言之,虽然在最倒霉的情况下不确定性可以比较小,但是这种情况很罕见。一般来说,不确定性总是很大。于是可以带来的测量上的节约也很大。

这当然也是一种「不确定性原理」,而且因为引入了随机性,所以在某种意义上来说比原先的定理更「不确定」。在他们的工作的基础上,一种被称为「压缩感知」的技术在最近的五六年内如火如荼地发展起来,已经成为涵盖信号处理、信息提取、医学成像等等多个工程领域的最重要的新兴工程技术之一。

不过,这些后续的发展估计是远远超出海森堡的本意了。