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May 22, 2013

Busemann – Petty 猜想的故事

有两个数学家 Busemann 和 Petty 在 1956 年提出了这样的一个猜想:

如果有两个关于原点对称的凸体,其中第一个和任意一个过原点的(余维为 1 的)超平面的交集的大小都比第二个和同一超平面的交集大,能不能说明第一个凸体比第二个大?

在二维这是显然的,所以这个猜想主要是关于高维情形的。

大部分数学家都会直觉地猜测说这个猜想是对的,但是到了 1975 年,另外两个数学家 Larman 和 Rogers 给出了当维度大于 12 时的一个非常复杂的反例,大出人们意料之外。

又过了十年,1986 年,Ball 证明了一个简单而漂亮的定理:

任何中心放在原点的单位立方体,无论维度为何,和过原点的超平面的交集都不大于 √2。

这个定理立刻导出了 Busemann – Petty 猜想的简单反例,因为当维度大于 10 的时候,中心放在原点的体积为 1 的球和超平面交集是大于 √2 的,所以 Busemann – Petty 猜想在 10 维以上都是错的。

这个结果过了一段时间被 Giannopoulos 和 Bourgain 独立地改进为 7 维以上都是错的,后来 Papadimitrakis 和 Gardner 又独立地把它改进为 5 维以上都是错的,这样只剩下 3 维和 4 维未知了。

90 年 Grinberg, Rivin, Gardner 和张高勇的一系列工作证明了:如果 n 维空间中的对称凸星形体都是截面体(截面体是这样一类星形体:存在另一个星形体和每个超平面的交集大小都正好等于这个截面体在这个超平面法向量方向上的径长),Busemann – Petty 猜想在这个维度上就是对的,否则就是错的。在此基础上,1994 年 Gardner 证明了 Busemann – Petty 猜想在 3 维是对的。同样在 1994 年,张高勇证明了 4 维单位立方体不是截面体,于是推论出 Busemann – Petty 猜想在 4 维是错的。这两篇论文都发表在 Annals of Mathematics 上。于是所有维度就都解决了。

但是!

1997 年 Koldobsky 在研究完全不同的问题时顺便发现 4 维单位立方体事实上必须是一个截面体,也就是说,张高勇的论文错了。

于是张高勇迅速研读了 Koldobsky 的工作,承认了自己的错误,并且在此基础上在 1999 年证明了事实上任何 4 维凸体都是截面体,也就是说 Busemann – Petty 猜想在 4 维其实是对的。

张的这篇文章也发表在 Annals of Mathematics 上。于是,张高勇就成为了唯一一个在这个顶尖数学杂志上发表过两篇证明了两个完全相反结论的论文的人。