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Jan 24, 2011

漩涡


「当我去见上帝时,我要问他两个问题。为什么有相对论?为什么有湍流?我很相信他能回答上来第一个。」

上面这句话据传来自于海森堡。像一切科学史上著名的俏皮话一样,它的真实性颇为可疑。不过无论如何,它还是成了人们介绍湍流理论时最常引用的一句名言。

湍流之复杂,在数学上可以理解为三维空间中的流体方程的困难。在 Clay 研究所提出的七个千年数学难题中,第六位即是三维空间中流体方程的光滑解的存在性。大致上说,这个问题可以用生活中的语言叙述为:

给定三维空间中的一个流体的初始状态,证明这个流体会一直光滑地流动下去。

从物理的角度来看,这几乎是一句废话。正因为如此,几乎没有数学家会怀疑这个猜想的正确性。他们只是没法严格证明出来而已。

有趣的是,如果把空间从三维变成二维,情况会大不相同。上世纪三十年代开始人们就证明了在二维空间里流体方程解的存在性,并且意识到二维流体和三维流体在数学上表现出迥然相异的性质。在数学上,这种区别的根源在于在三维空间中「旋度」是一个矢量场而在二维空间中是一个标量场。简单地说,这意味着在三维空间中复杂的湍流在二维空间中就变成了人们更为熟悉的对象:漩涡。


 

从上世纪四五十年代开始,人们意识到二维空间中的漩涡就像一个个粒子一样,可以彼此之间发生作用。事实上,人们可以反过来通过分析漩涡的位置和运动,来重构出整个流体向量场,这反应出漩涡在对二维流体运动的理解中的本质地位。漩涡有顺时针和逆时针之分,同样方向的漩涡如果相撞,就会合并在一起。这促使人们采用类似于研究气体分子撞击所采用的统计物理模型来理解二维流体中的漩涡。描述漩涡之间相互作用的那些方程和描述粒子之间相互作用的方程在数学形式上是类似的,有趣的是,在描述粒子运动的统计物理方程中表示「绝对温度」的那一项,在描述漩涡的方程中是个负数。也就是说,充斥着漩涡的二维流体在某种意义上可以看做是一个「负温度」的空间。下面这幅图是用计算机模拟出的两个漩涡相撞时的场景。

 

不过为什么人们要研究二维空间中的流体呢,既然我们生活的空间是三维的?

数学家们总可以说是为了好奇心,不过实际上,二维流体在我们生活中甚至比三维流体还要重要:我们的大气层厚度远小于横向尺度,所以基本上可以看做是完美地二维流体,海洋中的洋流也是这样。下面这两幅照片来自 NASA,前者是太平洋 Aleutian 群岛上空的云层图样,后者是在 Alexander Selkirk Island 上空拍摄的。


上面这几幅图中的漩涡结构被称为卡门涡街。这个名字来源于上个世纪的流体力学大师,钱学森的老师冯·卡门。他最早从理论上阐明了发生这一现象的数学条件。据说他曾经在意大利北部博洛尼亚的一个教堂里目睹了一幅圣克里斯朵夫背负少年基督赤足渡河的油画,圣克里斯朵夫的脚在水中带起了两排交错的漩涡。卡门说,这是人们关于涡街的最早的观察记录。

在实验室里也可以制造出相当严格的二维流体,办法是通过肥皂薄膜。这些薄膜上的小漩涡们,看起来居然和蒙克笔下呐喊的小人有一点像。

 

当梵高画出那幅著名的《星夜》的时候,有没有想到过这些漩涡的意义会被后人反复追寻呢?

One Comment

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  1. Ran / Oct 21 2016

    不知道数学家眼里的NS方程是什么样的?

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