Author: 木遥

经济学上有个著名的悖论：Braess 悖论，是一个数学家 Braess 提出来的。他构造了一个精辟的例子指出，你给一个交通网络上增加一条路（并且保持别的路不变），有可能反而会使得整个路网的交通效率下降。 这个巧妙的例子是这样设计的。从起点到终点有两条路，一条经过A，一条经过B。 从起点到A是小路，通行时间和车流量成正比，等于车流量T除以带宽100。从起点到B是大路，固定要耗费45分钟。从A或B到终点也一样，只是顺序刚好反过来。 假定每天有4000辆车要从起点去终点。因为两条路本质上是一样的，很自然两条路就会各有2000辆车。最后每辆车花的时间都等于 2000/100+45=65分钟。 现在你在A和B之间修一个虫洞，带宽无限，耗时为0。会发生什么事呢？听起来这是净利好。 这时候起点的所有车，不管本来是要走A 还是B，都会选择走到A，因为即使所有人都挤在上面那条路，到A也最多需要4000/100=40分钟，然后从A到B需要0分钟，这还是比从起点直接去B要快。那直接走B无论如何都显得很蠢。 然后等所有车到了A点之后，又因为同样的原因都会选择先走到B再去终点，因为这样最多也只需要40分钟，还是比直接走到终点快。 但这样一来，最后所有车都花了4000/100+4000/100=80分钟。所有人都慢了15分钟。 为什么？ 在这个例子里，多出来的这条路有可能会因为显得局部优势，从而诱导更多的司机选择这条他们本来未必会选的路，其结果是恶化了整体的最优交通分布。或者再确切一点说，这个捷径起到的作用是吸引大家选择了一系列局部上的最优解，但局部上的最优解联在一起并不等于全局最优解。每一步你都觉得自己赢了，但每一步都限缩了下一步的可能性。最终你在自己一直赢的路上花了更多的时间和成本。并且即使你看到了这一点也还是很难逃脱。 你最终陷在了自己的选择里。 这个悖论经常被用来解释交通网络里（以及一切复杂性社会现象里都可能出现的）诱导需求现象：某个地方因为交通拥堵，所以花大力气高成本把高速拓宽了一倍，结果交通还是照样拥堵。这并不是因为修路造成经济发展（经济发展没那么快跟上来），而是纯粹的数学效应。一百年前的纽约传奇规划师 Robert Moses 用了一辈子终于发现了这个痛苦的事实： 他修了 Triborough Bridge 缓解 Queensborough Bridge 的拥堵，又修了 Bronx-Whitestone Bridge 缓解 Triborough Bridge 上的拥堵，然后观察所有三座桥上的交通流量，直到所有三座桥都像以前一样拥挤。为缓解拥堵而修建的高速公路越多，就会有越多的汽车涌入其中并造成拥堵，从而迫使建设更多的高速公路——这将产生更多的交通量，成为一个不断扩大的螺旋。 当你往一个社会问题上扔进去无穷无尽的资源然后发现问题似乎永远存在的时候都应该想想自己是不是掉进了这个坑里。

2016 年 1 月 28 日，Deepmind 公司在 Nature 杂志发表论文 Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search，介绍了 AlphaGo 程序的细节。本文是对这篇论文的阅读笔记，以及关于人工智能和围棋进一步的一些想法。 声明：我是数学 PhD 和软件工程师，但不是人工智能领域的专家。我也不会下围棋。 一、 AlphaGo 总体上由两个神经网络构成，以下我把它们简单称为「两个大脑」，这并非原文中的提法，只是我的一个比喻。 第一个大脑（Policy Network）的作用是在当前局面下判断下一步可以在哪里走子。它有两种学习模式： 一个是简单模式，它通过观察 KGS（一个围棋对弈服务器）上的对局数据来训练。粗略地说：这可以理解为让大脑学习「定式」，也就是在一个给定的局面下人类一般会怎么走，这种学习不涉及对优劣的判断。 另一个是自我强化学习模式，它通过自己和自己的海量对局的最终胜负来学习评价每一步走子的优劣。因为是自我对局，数据量可以无限增长。 第二个大脑（Value Network）的作用是学习评估整体盘面的优劣。它也是通过海量自我对局来训练的（因为采用人类对局会因为数据太少而失败）。 在对弈时，这两个大脑是这样协同工作的： 第一个大脑的简单模式会判断出在当前局面下有哪些走法值得考虑。 第一个大脑的复杂模式通过蒙特卡洛树来展开各种走法，即所谓的「算棋」，以判断每种走法的优劣。在这个计算过程中，第二个大脑会协助第一个大脑通过判断局面来砍掉大量不值得深入考虑的分岔树，从而大大提高计算效率。 与此同时，第二个大脑本身通过下一步棋导致的新局面的优劣本身也能给出关于下一步棋的建议。 最终，两个大脑的建议被平均加权，做出最终的决定。 在论文中一个有趣的结论是：两个大脑取平均的结果比依赖两者各自得出的结果都要好很多。这应当是让 AlphaGo 表现出和人类相似性的关键所在。 二、 如果我是这篇论文的审稿人，我会对论文提出下面这些问题和评论： 首先，这些神经网络训练在很大程度上是通过自我对局来实现的。这既是某种优势（按照 Facebook 人工智能研究员田渊栋的说法，几千万自我对局这种规模是相当惊人的数据量），某种程度上来说也是不得已而为之，因为人类对局的总数实在太少，会导致机器学习中常见的过度拟合问题。 但是这样是否有可能造成自我设限乃至画地为牢的后果？这同时牵涉到人们对神经网络学习过程的理解和对围棋本身的理解。一方面，神经网络本身是否包容一定程度的「think out of the box」的能力，这固然取决于具体的神经网络算法，但也确实是人们对神经网络方法的一个本质困惑。另一方面，因为 AlphaGo […]

记 为第 个素数和第 个素数之差。数列 和素数数列一样有很多有趣的性质和猜想。其中最古老的一个是： 猜想： 在 中出现过无穷次。 这是孪生素数猜想的另一种表述形式。1849 年，Polignac 把这个猜想推广为： 猜想：任意偶数都在 中出现过无穷次。 如果记所有在 中出现过无穷次的偶数的集合为 ，则上述两则猜想可以分别表述为 包含 以及 包含所有偶数。但长期以来人们甚至不知道 是否空集。直到今年张益唐第一次证明了： 定理： 不是空集，且其最小值不大于 。 事实上， 这一下界只是个粗略的估计。在张的论文发表后的一个月内，它就已经被迅速改进为 ，下降了一百倍还多。 Pintz 指出，在张益唐的结论和他所用的工具的基础上，人们实际上可以立刻得到更强的结论： 定理：存在一个常数 使得每 个连续偶数中就有一个属于 。即 不但非空，且其在自然数中的密度是正的。 容易看出，如果 Polignac 的猜想是对的，则意味着 是一个震荡非常剧烈的数列，不断交替出现很大的数和很小的数。这令人自然猜想这是否也能归纳为一则定理。事实上，Erdős 和 Turán 在 1948 年确实证明了： 定理： 中上升和下降的相邻项都出现过无穷次。 但这只说明 确实在震荡，关于震荡的幅度，Erdős 在 1955 年猜测它会非常大： 的下界趋于 ，上界趋于 。同样是在张益唐的结论和他所用的工具的基础上，Pintz 证明了这个猜想不但是对的，而且很强： 定理： 的下界趋于 […]