关于相邻素数之差的笔记（张益唐及其他）

记 \{d_n\} 为第 n+1 个素数和第 n 个素数之差。数列 \{d_n\} 和素数数列一样有很多有趣的性质和猜想。其中最古老的一个是：

猜想：2 在 \{d_n\} 中出现过无穷次。

这是孪生素数猜想的另一种表述形式。1849 年，Polignac 把这个猜想推广为：

猜想：任意偶数都在 \{d_n\} 中出现过无穷次。

如果记所有在 \{d_n\} 中出现过无穷次的偶数的集合为 S，则上述两则猜想可以分别表述为 S 包含 2 以及 S 包含所有偶数。但长期以来人们甚至不知道 S 是否空集。直到今年张益唐第一次证明了：

定理：S 不是空集，且其最小值不大于 7\times 10^7。

事实上，7\times 10^7 这一下界只是个粗略的估计。在张的论文发表后的一个月内，它就已经被迅速改进为 4\times 10^5，下降了一百倍还多。

Pintz 指出，在张益唐的结论和他所用的工具的基础上，人们实际上可以立刻得到更强的结论：

定理：存在一个常数 C 使得每 C 个连续偶数中就有一个属于 S。即 S 不但非空，且其在自然数中的密度是正的。

容易看出，如果 Polignac 的猜想是对的，则意味着 \{d_n\} 是一个震荡非常剧烈的数列，不断交替出现很大的数和很小的数。这令人自然猜想这是否也能归纳为一则定理。事实上，Erdős 和 Turán 在 1948 年确实证明了：

定理：\{d_n\} 中上升和下降的相邻项都出现过无穷次。

但这只说明 \{d_n\} 确实在震荡，关于震荡的幅度，Erdős 在 1955 年猜测它会非常大：\{d_{n+1}/d_n\} 的下界趋于 0，上界趋于 \infty。同样是在张益唐的结论和他所用的工具的基础上，Pintz 证明了这个猜想不但是对的，而且很强：

定理：\{d_{n+1}/d_n\} 的下界趋于 0 的速度快于 \log^{-1}n，上界趋于 \infty 的速度快于 \log n。

用 Pintz 本人的话说：在刚刚过去的几个月里，一系列十年前会被认为是科幻小说的定理都被证明了。

23 thoughts on “关于相邻素数之差的笔记（张益唐及其他）”

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  5. ghn

    张亿唐在哈佛演讲的时候，他的证明已经被业界确认了吗？
    张为什么找到一个很粗的值就公布结果了？怀尔斯证费马大定理时不达目的誓不罢休啊，即使中间结果已经很有价值了。是什么让张停了下来？

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  7. 阿布

    你好，我看了你的《长度是怎样炼成的》，感觉你对数学的理解很透彻，我有个关于“无穷”的问题需要请教下你，能否赐教？

  22. Vincentbog

    Существует такая услуга – добровольное медицинское обслуживание .
    Она предполагает, что пациент платит небольшую сумму за то, что посещает врачей целый год БЕСПЛАТНО.
    Однако соцопросы показали, что лишь 6% жителей Санкт-Петербурга знают об этом.
    По какой причине?
    Да потому что клиникам выгоднее сдирать с людей деньги за каждый визит.
    А если какой-нибудь сотрудник клиники попытается рассказать про добровольное медицинское обслуживание клиенту – это сулит ему увольнением.
    Информация о ДМО уже вызвала кучу возмущений, сразу после того как информацию об услуге рассекретил один врач.
    Его уволили “по собственному желанию”, после того, как он предложил ДМО постоянному клиенту.
    Самое ужасное, что информация по ДМО есть в открытом доступе, просто натыкались на эту информацию только случайные люди.
    Как отстоять свои права?
    О правилах оказания услуги и обязанностях клиник можно узнать, сделав запрос в Яндексе: “добровольное медицинское обслуживание”.
    Обязательно обслуживание, а не страхование.

    34j5c6h86

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