有两个数学家 Busemann 和 Petty 在 1956 年提出了这样的一个猜想： 如果有两个关于原点对称的凸体，其中第一个和任意一个过原点的（余维为 1 的）超平面的交集的大小都比第二个和同一超平面的交集大，能不能说明第一个凸体比第二个大？ 在二维这是显然的，所以这个猜想主要是关于高维情形的。 大部分数学家都会直觉地猜测说这个猜想是对的，但是到了 1975 年，另外两个数学家 Larman 和 Rogers 给出了当维度大于 12 时的一个非常复杂的反例，大出人们意料之外。 又过了十年，1986 年，Ball 证明了一个简单而漂亮的定理： 任何中心放在原点的单位立方体，无论维度为何，和过原点的超平面的交集都不大于 √2。 这个定理立刻导出了 Busemann – Petty 猜想的简单反例，因为当维度大于 10 的时候，中心放在原点的体积为 1 的球和超平面交集是大于 √2 的，所以 Busemann – Petty 猜想在 10 维以上都是错的。 这个结果过了一段时间被 Giannopoulos 和 Bourgain 独立地改进为 7 维以上都是错的，后来 Papadimitrakis 和 Gardner 又独立地把它改进为 5 维以上都是错的，这样只剩下 […]