Month: June 2013

关于相邻素数之差的笔记(张益唐及其他)

记 为第 个素数和第 个素数之差。数列 和素数数列一样有很多有趣的性质和猜想。其中最古老的一个是: 猜想: 在 中出现过无穷次。 这是孪生素数猜想的另一种表述形式。1849 年,Polignac 把这个猜想推广为: 猜想:任意偶数都在 中出现过无穷次。 如果记所有在 中出现过无穷次的偶数的集合为 ,则上述两则猜想可以分别表述为 包含 以及 包含所有偶数。但长期以来人们甚至不知道 是否空集。直到今年张益唐第一次证明了: 定理: 不是空集,且其最小值不大于 。 事实上, 这一下界只是个粗略的估计。在张的论文发表后的一个月内,它就已经被迅速改进为 ,下降了一百倍还多。 Pintz 指出,在张益唐的结论和他所用的工具的基础上,人们实际上可以立刻得到更强的结论: 定理:存在一个常数 使得每 个连续偶数中就有一个属于 。即 不但非空,且其在自然数中的密度是正的。 容易看出,如果 Polignac 的猜想是对的,则意味着 是一个震荡非常剧烈的数列,不断交替出现很大的数和很小的数。这令人自然猜想这是否也能归纳为一则定理。事实上,Erdős 和 Turán 在 1948 年确实证明了: 定理: 中上升和下降的相邻项都出现过无穷次。 但这只说明 确实在震荡,关于震荡的幅度,Erdős 在 1955 年猜测它会非常大: 的下界趋于 ,上界趋于 。同样是在张益唐的结论和他所用的工具的基础上,Pintz 证明了这个猜想不但是对的,而且很强: 定理: 的下界趋于 […]