Month: June 2013

记 为第 个素数和第 个素数之差。数列 和素数数列一样有很多有趣的性质和猜想。其中最古老的一个是： 猜想： 在 中出现过无穷次。 这是孪生素数猜想的另一种表述形式。1849 年，Polignac 把这个猜想推广为： 猜想：任意偶数都在 中出现过无穷次。 如果记所有在 中出现过无穷次的偶数的集合为 ，则上述两则猜想可以分别表述为 包含 以及 包含所有偶数。但长期以来人们甚至不知道 是否空集。直到今年张益唐第一次证明了： 定理： 不是空集，且其最小值不大于 。 事实上， 这一下界只是个粗略的估计。在张的论文发表后的一个月内，它就已经被迅速改进为 ，下降了一百倍还多。 Pintz 指出，在张益唐的结论和他所用的工具的基础上，人们实际上可以立刻得到更强的结论： 定理：存在一个常数 使得每 个连续偶数中就有一个属于 。即 不但非空，且其在自然数中的密度是正的。 容易看出，如果 Polignac 的猜想是对的，则意味着 是一个震荡非常剧烈的数列，不断交替出现很大的数和很小的数。这令人自然猜想这是否也能归纳为一则定理。事实上，Erdős 和 Turán 在 1948 年确实证明了： 定理： 中上升和下降的相邻项都出现过无穷次。 但这只说明 确实在震荡，关于震荡的幅度，Erdős 在 1955 年猜测它会非常大： 的下界趋于 ，上界趋于 。同样是在张益唐的结论和他所用的工具的基础上，Pintz 证明了这个猜想不但是对的，而且很强： 定理： 的下界趋于 […]