算式

松鼠会的猛犸老师请我帮忙，让我帮忙设计出一系列结果分别为 1，2，3，4 的算式。类似于下面这个钟表的模样，但是最好更复杂更「数学」一点。

这件事情很好玩，我在设计的时候脑海里遵循的几条准则是：
1. 尽量只用到基本的数学常数，0，1，2，e，pi 之类，用到的数越少越好。
2. 尽量只用到标准的数学运算，不用进制转换和 ascii 码之类，也不用自然语言。
3. 尽量避免用基本四则运算来拼数字。

下面是我设计的式子们，因为很好玩，所以多设计了几个，不过数字越大越困难，到 7 的时候终于放弃了……有谁愿意试试看么？

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}

-e^{\sqrt{-1}\pi}

\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{-n}}

\lfloor(\Gamma(2^{-1}))^2\rfloor

\left(\int_0^\infty\frac{1}{\pi^2+x^2}dx\right)^{-2}

\left(2\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}-1\right)^2

\pi^2\left/\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}

计数问题一则

我在考虑一个优化算法的时候遇到了下面的问题：

问题 1：假定 m<n，在 \mathbb{R}^n 中一个处于一般位置的 m 维子空间会经过 \mathbb{R}^n 的多少个象限？在这里「一般位置」的意思是 \mathbb{R}^n 的坐标轴全都不落在这个子空间内。

这个问题有一个几乎等价的问法：

问题 1′：假定 m<n，在 \mathbb{R}^n 中一个处于一般位置的 m 维线性流形（不经过原点）会经过 \mathbb{R}^n 的多少个象限？在这里「一般位置」的意思是 \mathbb{R}^n 的坐标轴全都不平行于这个线性流形。

如果问题 1 的解记作 F(m,n)，问题 1′ 的解记作 G(m,n)，通过升维，容易看出问题 1′ 可以化归为高一阶的问题 1：

F(m,n)=2\cdot G(m-1,n-1).

我一开始以为这个问题并不困难，经过了一番努力才发现它远比我想象的复杂。我所能找到的文献对这个问题的回答不早于上世纪五十年代（e.g. Schläfli 1950）。它的答案是：

F(m,n) = 2\cdot\sum_{i=0}^{m-1} {{n-1}\choose{i}}.

有趣的是，这个数值也是下面这些问题的答案：

问题 2 (Winder 1964)： 假定 m<n，在 \mathbb{R}^m 中 n 个处于一般位置的过原点的余维为 1 的超平面把 \mathbb{R}^m 划分成多少块？在这里「一般位置」的意思是其中任意 m 个超平面的法向量线性无关。

问题 3 (Cover 1965)： 假定 m<n，在 \mathbb{R}^m 中给定一般位置的 n 个向量，将它们由过原点的某个余维为 1 的超平面分成黑白两组，有多少种分组方法？在这里「一般位置」的意思是其中任意 m 个向量线性无关。

在上面两个问题中，如果把「过原点」的条件去掉，即得到问题 2′ 和 3′，容易看出它们可以类似地通过升维化归为高一阶的原问题。

另一个相关的问题是：

问题 4 (Wendel 1962)： 假定 m<n，在 \mathbb{R}^m 中随机给定一般位置的 n 个向量，存在一个通过原点的余维为 1 的超平面使得这些向量处于这个超平面的同一侧的概率是多少？在这里「一般位置」的意思是其中任意 m 个向量线性无关。

这个问题的答案是  F(m,n)/2^n。

这些问题之间的等价性并不是特别明显，我自己花了一段时间才找到下面的直观理解（我不排除可能有更好的方式来让这些等价性变得更为显然）。

问题 1 ↔ 问题 2：记 \mathbb{R}^n 中一般位置的 m 维子空间为 \mathbb{M}，容易看出 \mathbb{R}^n 的所有余维为 1 的坐标平面同 \mathbb{M} 的交集即构成 \mathbb{M} 上 n 个处于一般位置的过原点的超平面，并且它们将 \mathbb{M} 划分的块数即等于 \mathbb{M} 在 \mathbb{R}^n 中所经过的象限数。

问题 2 ↔ 问题 3：记 \mathbb{R}^m 中一般位置的 n 个向量为 \{p_i\}，每个向量所对应的正交法平面为 \{P_i\}，则 \{P_i\} 构成 \mathbb{R}^m 中 n 个处于一般位置的过原点的超平面，而它们把 \mathbb{R}^m 划分成的每一块中的点所对应的法平面都构成对 \{p_i\} 的一种特定的划分。

问题 1 ↔ 问题 4：在 \mathbb{M}=\mathbb{R}^m 中给定一般位置的 n 个向量 \{p_i\}，它们可以被提升为 \mathbb{R}^n 的 n 个正交向量 \{\tilde p_i\} 在 \mathbb{M} 中的投影（通过对满秩 m\times n 矩阵做 SVD 分解可以很显然地看出这一点，但是我想不出有没有更直观的几何解释）。通过简单的向量计算可以看到，「存在一个通过原点的超平面使得 \{p_i\} 处于它的同一侧」这件事等价于「 \mathbb{M} 在 \{\tilde p_i\} 所张成的 n 维空间中经过第一象限」这件事。很显然这个概率等于 \mathbb{M} 所经过的所有象限数  F(m,n)  除以总象限数 2^n。

有趣的是，直到现在为止，无论采用上面哪一种问题表述，我都还没有发现任何一个直观的理解能够解释为什么  F(m,n)  等于前面给出的那个数值。所有上面所列的文献中的证明几乎都基于归纳法，但是我强烈觉得某种更直接的证明应当是存在的。

关于折纸的若干事

在 1927 年德国国立建筑学院（即后世著名的包豪斯学院）的一次预备课程上，教师 Josef Albers （他战后成为耶鲁大学设计系的系主任）带着一卷报纸走进课堂，对学生们说道：

女士们先生们，我们很穷，没什么钱。我们浪费不起时间，也浪费不起材料。所有的艺术都得从材料上开始动手，所以我们必须先来看看我们能搞到什么材料，不要直接想着去制作什么成品。我们目前先考虑的应当是巧妙地利用材料，而不是美。我们的学习应当引出建设性的思考。我希望你们利用这些报纸，搞出一些你们现在还没见过的东西来。我希望你们尊重材料，合情合理地使用它们，保持它们的内在特征。如果你们能不用刀箭胶水就更好了。

 

有一些当时的学生作业被保存了下来。其中一份是这样的：在一张圆形纸片上画出一系列同心圆，沿着它们作为折痕依次交替折成峰和谷。（考虑到折痕是曲线，这不太容易做到，但是并不是不可能的。）然后，一个出人意料的，呈现出马鞍形的漂亮结构出现了。

在人们目前所知道的文献里，这样的折纸结构还是第一次出现。

我们每个人都知道怎么折一个纸飞机或者纸鹤，不过恐怕也仅限于此。折纸毫无疑问是一门历史久远得已不可考的艺术，在漫长的历史年代中，一些简单的折纸技术在中国和日本代代流传。1797 年日本三重县桑名市长円寺的僧人义道一円出版的《秘传千羽鹤折形》被认为是世界上第一本折纸书，记载了当时所知道的大量折纸图案。

秘传千羽鹤折形影印

人们意识到折纸有其技术上的复杂可能性，乃至科学上的应用和研究价值，还是相当晚近的事。二十世纪的日本折纸艺术家吉泽章被认为是现代折纸艺术的鼻祖。他一生发明出了超过五万种新的折纸图样，更重要的是，他建立了描述折纸技术的标准语言，至今仍旧为全世界所通用。在海外，他被广泛看作是日本的一名文化大使。1983 年，日本天皇授予他旭日章，这是日本国民所能获得的最高荣誉勋章之一。

吉泽章作品

 

到上世纪八十年代，人们开始注意到折纸可以作为一个数学问题被加以研究。归根结底，一个折纸作品一旦被展开，就不外乎体现为一张纸片上的若干折痕，这些折痕满足某些特定的数学性质。反过来，给定一个人们心目中的折纸作品的模样，如何设计出相应的折痕，这在从前是一件完全依赖于折纸艺术家的经验的困难技巧，而今天却可以通过特定的方式转化为一种可以被标准流程所回答的数学问题。上世纪九十年代，美国科学家 Robert Lang 写出了一个名为 treemaker 的电脑程序，允许人们输入任何自己心目中想要的形状，然后电脑会计算出为了折出该形状所需的折痕图样。从那一天起，折纸艺术彻底进入了自由王国。

以上三幅为Lang 借助电脑创作出的作品

这件事情听起来像是科学家们完全心血来潮的业余爱好。可是大多数科学技术领域的发展所体现出的一条必然规律在这里也发生了作用：一种纯粹基于兴趣的，看起来毫无实际用途的研究，最终会以出乎人们意料的方式在现实生活中产生应用。在 2004 年日本宇宙科学研究所在发射太阳能飞船时意识到，为外太空航行提供能源所需的太阳能板需要尽可能大的展开面积，而这些太阳能板又必须能够被折叠到尽可能小的状态才能在发射过程中装进狭小的飞船船舱，并且这一折叠和展开的过程都必须尽可能简单，才能在无人环境中顺利完成，这正是折纸技术所研究的问题。于是，东京大学宇宙科学研究所教授三浦公亮发明了一种折纸方法，提供了一个完美的解决方案。这一方案今天称为三浦折叠法，被广泛地应用于各种生产领域，甚至包括轮胎的胎纹设计。折纸技术还被用于设计人造血管支架，因为这一支架需要被折叠地足够小才能被放入血管，在到达指定位置后再被展开成一段人造血管，这一设计是由牛津大学的中国科学家由衷研究员所带领的研究小组发明的。

在这个领域里事实上还存在着大量未能解决的问题，它甚至构成了数学中一个特别的分支：折纸数学。所有从事这一领域的科学家几乎一开始都只是被折纸过程所蕴含的简单而纯粹的美所吸引，但是事实上，他们的工作开启了一个科学和工程学的宝库，没有人预料过这一切。